(1)首先,△ABQ和△ABP的每一邊的長都可以利用正弦定理求得, 包括以下寫的AP和AQ(除了PB對的角是105°你可能覺得有些問題, 不過我們還沒有要算出每一邊長), 然後我們發現在△APQ中利用餘弦定理可得PQ^2 = AP^2 + AQ^2 - 2(AP)(AQ)cos∠PAQ
答案正確

(2)△AEG中, 利用餘弦定理得EG^2 = AE^2 + AC^2 - 2(AE)(AC)cos∠CAE, AE=AB=7, AG=AC=9, cos∠CAE=cos(360°-90°-90°-∠BAC)=cos(180°-∠BAC)= -cos(∠BAC)= - (7^2+9^2-8^2)/(2x7x9) 最後這式是利用餘弦定理反推cos
EG= √[ AE^2+AC^2-2(AE)(AC)cos∠CAE ] = √[ 7^2+9^2 + 2x7x9(7^2+9^2-8^2)/(2x7x9) ] = √[ 7^2+9^2 + (7^2+9^2-8^2) ] (化9^2-8^2為(9+8)(9-8)很快得到17) = √(49+81+49+17) =14
答案正確

(3)令BC的中點為M, 延伸GM(往M點延伸), 至M'使得MM'=GM=1/2AG=2 (因為重心), 連接BM'和CM', 我們得到一個平行四邊形BGCM', 設BG=a, CG=b, 利用餘弦定理, 我們得:
△BCG中, BC^2 = BG^2 + CG^2 + 2(BG)(CG)cos135° = a^2 + b^2 - 2abcos45°
△BGM'中, GM'^2 = BG^2 + BM'^2 + 2(BG)(BM')cos45° (平行四邊形中的∠BGC和∠GBM'互補) = a^2 + b^2 + 2abcos45°
將兩式聯立(下式減上式)得ab=21√2, 所求=△ABC=3△BCG (因為重心) = 3(1/2 absin135°) (正弦定理求三角形面積)
答案正確

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